Como funcionam mesmo os puzzles de restrições — as seis ideias por trás de qualquer grelha lógica

Quase toda a gente aprende sudoku a varrer a grelha. Olhas para uma linha, murmuras os algarismos que já lá estão e esperas que alguma casa se denuncie. Resulta durante algum tempo. Depois aparece uma grelha que não denuncia nada e ficas encalhado.

A solução não é varrer mais. É mudar de pergunta. Quem nunca encalha não olha mais depressa: pergunta uma coisa mais estreita e tem meia dúzia de ferramentas com nome para lhe responder. Não são ferramentas de sudoku: funcionam em grelhas de letras, grelhas lógicas, puzzles de ordenação e de grafos — em tudo onde um conjunto fixo de valores tem de ser distribuído sob regras.

Aqui ficam as seis, pela ordem em que as deves aprender, com um exemplo cada.

1. Candidatos, não respostas

O hábito mais útil nos puzzles de restrições é deixar de perguntar o que vai aqui e começar a perguntar o que não pode ir aqui.

Para cada casa vazia, guarda os valores que as regras ainda permitem: são os candidatos da casa. Num sudoku clássico, a casa da linha 4, coluna 7 começa com os nove algarismos. A linha já tem 1, 2, 5 e 8. A coluna tem 3, 4 e 9. O bloco tem 6. Risca tudo isso e sobrevive um só candidato: o 7.

Repara na forma da jogada. Não encontraste o 7: destruíste os outros oito. Todas as técnicas seguintes destroem candidatos, e as respostas são o que fica de pé quando já não há nada para destruir.

É por isso que a competência se transfere. No Terraxis, os países são colocados de modo que cada linha cresça da esquerda para a direita segundo a sua própria regra — área, população, latitude da capital, vizinhos terrestres, comprimento do nome em inglês. Os candidatos de uma casa são os países que ainda ali cabem. Se a linha cresce por população, a casa mais à esquerda não pode receber o país mais populoso do conjunto. Puzzle diferente, jogada idêntica.

Escreve os candidatos. Guardá-los de cabeça é onde o rigor morre.

2. O único nu e o único escondido

São as duas maneiras de uma casa ficar forçada, e são opostas.

Um único nu é uma casa com um só candidato — o exemplo acima. Chama-lhe eliminação por casa: estreitaste um recipiente até só caber um ocupante.

Um único escondido é um valor com um só destino. Pega no bloco superior esquerdo e procura o 7. Imagina que já há um 7 na linha 1, à direita do bloco, e outro na linha 3, também à direita. As linhas 1 e 3 ficam fechadas ao 7 dentro do bloco, logo o 7 do bloco vive na linha 2: r2c1, r2c2 ou r2c3. Se a coluna 1 tiver um 7 mais abaixo e a coluna 2 também, morrem r2c1 e r2c2. Só sobra r2c3, portanto r2c3 é 7.

E aqui está o que engana toda a gente: r2c3 pode continuar a ter três ou quatro candidatos escritos. Não interessa. Nenhuma outra casa do bloco aloja o 7, e o bloco precisa de um. Chama-lhe eliminação por valor: estreitaste as opções de um ocupante até só servir um recipiente.

Alterna entre as duas. Encontram coisas diferentes e cada colocação alimenta a outra. Uma grelha encalhada quase sempre quer dizer que há dez minutos que fazes só uma delas.

3. Pares e trios nus

Agora deixamos de colocar valores e passamos a apagá-los em massa.

Na linha 5, duas casas têm exatamente os candidatos {4, 6}. Não sabes qual é qual, e não precisas. Entre as duas vão consumir o 4 e o 6 da linha. Logo, nenhuma outra casa da linha 5 pode ser 4 ou 6. Uma terceira casa que dissesse {4, 6, 9} passa a ser um único nu: 9.

É um par nu: duas casas, dois candidatos, uma unidade.

O trio nu é o mesmo argumento com três casas, e traz um pormenor que quase toda a gente erra à primeira. As casas não precisam de ter os três candidatos cada uma. O que conta é que a união dos candidatos tenha exatamente três valores. Assim, {2,7}, {7,9} e {2,9} formam um trio sobre {2,7,9}, embora nenhuma casa mostre os três. E {2,7}, {2,7,9} e {7,9} também. Três casas, três valores: risca 2, 7 e 9 do resto da unidade.

4. Pares e trios escondidos

É o inverso, e é o que a maioria dos solucionadores nunca procura.

Percorre a unidade valor a valor e pergunta onde cada valor pode ficar. Na coluna 4, o 3 só é possível em duas casas, e o 8 só é possível nessas mesmas duas. Dois valores, duas casas. Elas têm de acolher o 3 e o 8 entre si, numa ordem qualquer.

Logo, tudo o resto que lá estiver escrito está errado. Se as casas dizem {1,3,5,8,9} e {3,4,8}, ambas colapsam para {3,8}. Apagaste cinco candidatos sem colocar um valor — e criaste um par nu, que agora limpa o 3 e o 8 do resto da coluna.

Escondem-se bem porque as casas parecem cheias. Uma casa com cinco candidatos não parece constrangida, e o olho salta-a. Varre por valor, não só por casa. Os trios escondidos funcionam igual: três valores em apenas três casas de uma unidade são donos dessas casas.

5. Interseções

A primeira técnica que usa duas unidades de uma vez.

Pega no bloco central e no valor 2. Todas as casas do bloco que podem receber um 2 estão na linha do meio do bloco. Não sabes qual delas é. Mas o bloco precisa de um 2 e todos os candidatos estão naquela linha, logo o 2 dessa linha está dentro deste bloco. O resto da linha — seis casas — não pode ser 2. É a redução bloco-linha, muitas vezes chamada apontamento.

Ao contrário, tens a redução linha-bloco. Se todas as casas de uma linha que podem receber um 2 caem dentro de um bloco, o 2 desse bloco está nessa linha, e riscas o 2 das outras seis casas do bloco.

Uma ideia, duas vezes: um valor confinado à sobreposição de duas unidades fica proibido no resto de ambas.

6. O retângulo (X-Wing)

Até aqui, tudo local. O X-Wing é a primeira técnica que atravessa a grelha.

Escolhe um valor, digamos o 4. Na linha 2, os únicos candidatos a 4 estão nas colunas 3 e 7. Na linha 8, também. Quatro casas, um retângulo.

A linha 2 põe um 4 na coluna 3 ou na 7. A linha 8 faz o mesmo. Não podem escolher a mesma, porque dois 4 não partilham uma coluna. Logo uma fica com a coluna 3 e a outra com a 7, e nunca precisas de saber em que sentido. De qualquer maneira, ambas já têm o seu 4. Apaga o 4 de todas as outras casas das colunas 3 e 7.

Generaliza de imediato. Três linhas em que um valor está confinado às mesmas três colunas dão um swordfish; quatro dão um jellyfish. O argumento nunca muda: n unidades, n posições, todas já com dono.

A ausência de uma marca é uma marca

Aqui está a ideia que vale mais que as outras seis juntas.

No Alfaelo, um sudoku de letras 9×9, um ponto entre duas casas vizinhas diz que as letras são consecutivas no alfabeto. Os principiantes tratam os pontos como sendo o puzzle e as arestas vazias como fundo. É ao contrário. Pontos há poucos; arestas vazias há por todo o lado, e cada uma é uma restrição: estas duas letras não são consecutivas.

Coloca um E e cada vizinho sem ponto perde logo o D e o F. Uma colocação, até oito eliminações, e a grelha não te desenhou nada. O mesmo vale no Confinia, onde cada ligação desenhada representa uma fronteira terrestre real. Uma ligação diz que dois países se tocam. Uma falha diz que os países daquelas casas não se tocam — muitas vezes o facto mais afiado.

As pistas positivas estreitam uma casa. As pistas negativas estreitam a grelha inteira de uma vez, em silêncio, e só para quem se dá ao trabalho de as ler.

As grelhas lógicas tornam isto explícito: passas o puzzle a escrever cruzes, não vistos, e os vistos aparecem sozinhos quando uma fila de cruzes deixa um buraco. Mesmo esqueleto de todas as técnicas acima.

A ordem por que se aplicam

Varre por esta ordem e recomeça do topo depois de cada colocação.

• Únicos nus. Grátis, imediatos, sempre primeiro.
• Únicos escondidos, unidade a unidade, valor a valor.
• Pares e trios nus.
• Pares e trios escondidos.
• Interseções.
• Retângulos, só com as passagens baratas esgotadas.

A ordem segue o custo: cada passo custa mais a procurar do que o anterior, e cada colocação dá trabalho novo aos anteriores. Recomeçar do topo parece desperdício e é o caminho mais rápido numa grelha difícil.

Uma regra segura tudo: se estás a adivinhar, deixaste de resolver. Um palpite que calha certo não te ensina nada e esconde a eliminação que te escapou. Estar encalhado nunca significa ficar sem lógica. Significa ficar sem o tipo de lógica que estavas a usar. Passa das casas para os valores, ou de uma unidade para duas.

Esse esqueleto — listar o possível, destruir o impossível, continuar até ficar uma coisa de pé — é tudo. Move todos os puzzles deste sítio, incluindo o Meridiano, feito de relações entre países, caminhos de fronteira de comprimento exato e encaixes de mapas, onde não se vê um número e o método continua a funcionar.